Je 500€ dovolj za napolnitev albuma Brasil 2014?

PRO panini

Zbirateljsko strast pozna vsak in zagotovo je skoraj vsak že kdaj zbiral najrazličnejše stvari, bodisi v mladosti bodisi jih še zbira. Ena od najpogostejših zbirateljskih stvari na planetu je vsekakor Paninijev licenčni album nogometašev, ki ga italijansko podjetje iz Modene izda pred velikimi dogodki. Prvi njihov album svetovnega prvenstva je izšel leta 1970 za prvenstvo v Mehiki. Od tega leta pa do dandanes se je album zelo spremenil. Večje ekipe so v letu 1970 imele v albumu 14 praznih prostorčkov, manjše le 10 (leta 1974 Avstralija celo samo 7). Danes pa je v albumu Brasil 2014 na voljo vsaki državi po 19 praznih prostorčkov -17 za igralce za grb in za skupinsko sliko. Poleg tega so tu še dvojne nalepke stadionov, logoti Fife, ...Tako da nanese skupno 640 sličic. Leta 1970 pa jih je album imel 250. V 44 letih je tako število sličic zraslo za 156 %. S tem pa je seveda povezana tudi cena polnitve albuma. Cene starih nalepk so med zbiratelji zelo cenjene in dosegajo zares velike zneske. Od leta 2006 pa so na voljo tudi virtualni albumi.

Recimo, da imamo vso srečo sveta in dobimo vse potrebne sličice z nakupom paketkov ( v njih je 5 različnih sličic). Paketek stane 60 centov in če želimo napolniti 640 mest. Coca-Cola nalepke spustimo. Potem moramo kupiti 128 paketkov. Torej to znese 76,8 € plus še 1,9 € za album (če ga nismo dobili zastonj), kar pa seveda v praksi ni možno, ker se sličice močno podvajajo. Podvojitve prinesejo menjave in menjave nam omogočajo, da dobimo sličice, ki jih potrebujemo. Brez menjavanja pač ne gre, če hočemo finančno racionalno napolniti album. panini-world-cup-2014-stickersPa vendar se poraja vprašanje, koliko denarja bi potrebovali, da bi napolnili celoten album, brez da bi menjali. S tem se ukvarja t.i. teorija zbiranja kuponov »Coupon Collector Problem.« Ob spodnjem izračunu predpostavljamo, da je vseh sličic enako v obtoku, kar po mnenju mnogih ne drži povsem ampak Panini te obtožbe zavrača, češ da so vse enakopravno tiskane in razdeljene naključno. Ker podatkov o obtokih nimamo, predpostavimo
enakopravnost med sličicami. Izračun pa je povezan z uporabo teorije problema zbiranja kuponov in z uporabo matematičnih vrst. Za začetek pa nekaj o sami verjetnosti.

Ko kupimo prvi paket in potegnemo prvo sličico, imamo verjetnost, da bo prava , za drugo sličico imamo potem verjetnost, da bo prava (eno smo vendarle že nalepili in ni več ugodna), za tretjo in tako dalje, do zadnje sličice, ki ima verjetnost, da bo ugodna . Pravzaprav nas v bistvu ne zanima klasična verjetnost, da bomo dobili ugodno sličico ampak koliko sličic oz. paketkov moramo v povprečju »obrniti« oziroma kupiti, da bomo napolnili album. V povprečju moramo torej obrniti (pregledati) 640 sličic, da dobimo želeno manjkajočo sličico.

Primer: kovanec ima dve strani: cifra-grb. Verjetnost, da pade grb je torej 0,5 (50 %). Ampak moramo v povprečju dvakrat metati oz »obrniti« kovanec, da dobimo želeni izid. Tako lahko zapišemo , kjer je števec ulomka število metov, da dobimo grb in imenovalec ugoden izid, torej grb. Verjetnost, da na kocki pade številka 2 je in da zares pade želena številka, moramo kocko v povprečju vreči (obrniti) šestkrat, da bo padla dvojka.

Analogno je v primeru sličic. Da bomo dobili želeno sličico moramo v povprečju 640 krat »obrniti« vse sličice. Za prvo sličico je seveda potrebno kupiti le eno, za drugo imamo že eno ugodno manj itd. Ko pridemo do zadnje manjkajoče moramo seveda kupiti oz »obrniti« veliko več sličic, kot na začetku ampak v povprečju spet 640. Ker nas zanima cena, moramo vse izide sešteti. S tem pa dobimo matematično vrsto.
P pa 1

Iz vsote izpostavimo in dobimo
P pa 2

Izraz v oklepaju predstavlja harmonično matematično vrsto. Njene vrednosti se, če ji prištejemo še Eulerjevo konstanto 0,577, se skoraj približujejo naravni logaritemski funkciji.
Tako lahko napišemo
P pa 3

Kupiti moramo 4504,6 sličic, da zapolnimo naš album. Če računamo ceno ene sličice 12 centov dobimo vrednost albuma slabih 541 € oziroma slab 901 paketek.

Po informativnih izračunih se lahko prepričamo, da brez menjav ne gre, razen če imamo kaj evrov preveč na računu;)

 

Lep pozdrav do naslednjega tipkanja! KTBFFH!
Profesor (@gospod_profesor)

profesor1

Deli z ostalimi

FANSHOP300x600

                  CHE SLO new

Navijaški klub Chelsea Slovenija
Zupanova 16
1225 Lukovica

Kontakt:
info@chelseafc.si

Za kar najboljšo uporabniško izkušnjo ta spletna stran uporablja piškotke. Več informacij: Pravila o zasebnosti.

Sprejemam piškotke na tej strani

Direktiva EU o uporabi piškotkov